Wie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung zu lösen

April 2

Wie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung zu lösen

Die Schrödinger-Gleichung ist ein Eckpfeiler der Quantenmechanik, da es die Dynamik und die physikalischen Eigenschaften (z. B. Energie und Dynamik) der ein Quantenteilchen, mit einer Menge bekannt als die Wellenfunktion beschreibt. Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung, was bedeutet, dass die Gleichung beschreibt, wie die Wellenfunktion in Raum und Zeit verändert. Während die Schrödinger-Gleichung kann vereinfacht werden, um die einzige Bewegung durch den Raum beschreiben (was heißt die zeitunabhängigen Schrödingergleichung), kann die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung (umfasst auch mal) eine ausführlichere Beschreibung der Quantenzustand geben.

Anweisungen

• Die Technik der Trennung der Variablen verwenden, um die Wellenfunktion Ψ(x,t) in das Produkt zweier Funktionen zu trennen: eine Raum-abhängigen und einer zeitabhängigen. Dies kann als geschrieben werden:

PSI(x,t) = Psi (x) Phi (t).

(bei Psi, Psi darstellen die Groß- und Kleinschreibung Versionen der griechischen Buchstaben).

Die Schrödinger-Gleichung, die ursprünglich als geschrieben

(Ih/2 Pi) (partielle Psi(x,t) / partielle t) = (-h / 2m) [(partielle ^ 2) Psi(x,t) / partielle x ^ 2)] + V(x) Psi(x,t)

(wo "teilweise" stellt das partielle Ableitung-Symbol) wird dann

(Ih/2 Pi) (teilweise [Psi (Phi (t) x)] / partielle t) = (-h / 2m) [(partielle ^ 2) [Psi (Phi (t) x)] / partielle x ^ 2)] + V(x) [Psi (Phi (t) x)]

Rufen Sie diese Gleichung A.

• Trennen Sie die Zeit und die räumlichen Komponenten der Gleichung A, so ist jede Komponente auf der einen Seite des Gleichheitszeichens. Tun dies gibt

(1 / psi(x)) [(-h / 2m) (d ^ 2) psi(x) / Dx ^ 2) + V(x) psi(x)] = (1 / Phi(t)) [Ih (d Phi(t) / dt)].

Rufen Sie diese Gleichung B.

• Da jede Seite der Gleichung B eine andere Variable abhängt (Raum und Zeit, beziehungsweise), legen Sie jede Seite der Gleichung eine Konstante, die wir nennen E. Dies bringt zwei separate Gleichungen:

(1 / psi(x)) [(-h / 2m) (d ^ 2) psi(x) / Dx ^ 2) + V(x) psi(x)] = E

(1 / Phi(t)) [Ih (d Phi(x) / dt)] = E.

• Lösen Sie die zeitunabhängig Version der Gleichung B mit Techniken bekannt, gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen. Die Lösung hängt Form der potenziellen V(x), sodass eine allgemeine Lösung C(x) als Platzhalter verwendet werden kann, wenn dies nicht sofort bekannt ist.

• Lösen Sie die Gleichung zeitabhängig Version der Gleichung B. Dies kann gelöst werden mit der Technik der Trennung von Variablen für ein erster Ordnung lineare Differentialgleichung, die die Lösung gibt

Phi (t) = A exp (-iEt / h),

wo A ist eine allgemeine Konstante und "exp", ist die Exponentialfunktion.

• Kombinieren Sie die Lösungen von zeitabhängigen und zeitunabhängigen Gleichungen. Dies gibt die allgemeine Lösung

PSI(x,t) = u(x) exp (-iEt / h),

Das ist die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung.

Tipps & Warnungen

  • Die Funktion u(x) ist eine Kombination der allgemeinen Lösung C(x) und die Konstante A aus der zeitabhängigen-Lösung.

In Verbindung stehende Artikel